Как вычислить градиент

Вычислите градиент скалярной функции (вектор частных производных, ∇f). Процесс: взять частные производные по каждой переменной, собрать их в вектор и оценить в точке. Пример: f(x,y)=x^2 y + 3y → ∇f=(2xy, x^2+3); в (1,2) → (4,4).

Как вычислить градиент

Что это: градиент скалярной функции — вектор её частных производных, указывающий направление наибольшего возрастания. Применение: введите многомерную функцию, вычислите каждую частную производную, сформируйте вектор градиента и оцените в конкретной точке. Сценарии: оптимизация, направленные производные, физика и анализ полей.

Steps

  1. Take the partial derivative of the function with respect to each variable: $partial f/partial x_i$.
  2. Assemble these partial derivatives into the gradient vector: $ abla f = (partial f/partial x_1, partial f/partial x_2, ...)$.
  3. Evaluate the gradient at the desired point by substituting coordinates.

Example

f(x,y) = x^2 y + 3y
∂f/∂x = 2xy
∂f/∂y = x^2 + 3
∇f = (2xy, x^2 + 3)
At (1,2): ∇f = (4,4)

Use this approach for scalar fields in physics, optimization, and directional derivative calculations.